مُنحنيهاي رياضي- Mathematical curves

خَم يا منحني يک مفهوم هندسي است. در رياضيات، مفهوم منحني (خم) براي نشان دادن يک شيء يک بعدي و پيوسته به کار مي‌رود. يک مثال ساده دايره‌ است. در گفتگوي روزمره يک خط صاف، منحني در نظر گرفته نمي‌شود ولي در مکالمه‌ي رياضياتي خط‌هاي مستقيم و پاره خط‌ها نيز خم‌اند. در هندسه منحني‌هاي بسيارديگري مطالعه مي‌شوند. هم‌چنين، منحني(خم) مي‌تواند هم معني با تابع رياضي يا نمودار تابع باشد.

بطور کلي، خم يا منحني به دو گونه‌است:

• منحني مسطح: خمي است که بر روي سطح دوبعدي (صفحه) قابل جايگيري است.


• منحني کج: خمي فضايي است که روي هيچ صفحه‌اي قرار نگيرد.

منحني مسطح

بطور شهودي، خم مسطح به مجموعه‌اي از نقطه‌ها گفته مي‌شود، به شرط آن‌که بتوانيم بدون بلند کردن قلم از روي کاغذ آن را رسم کنيم. منحني‌هاي مسطح به سه نوع زير تقسيم مي‌شوند:

• منحني ساده: يک منحني ساده، يک منحني مسطح است که هيچ يک از نقطه هاي خود را قطع نکند.


• منحني بسته: به خمي اطلاق مي‌شود که نقطه‌هاي (انتهايي) آن به هم رسيده (و بر يکديگر منطبق) باشند.


• منحني ساده بسته: منحني اي ساده بسته است که نقطه‌هاي ابتدا و انتهايي آن برهم منطبق باشند و نقطه‌هاي خود را قطع نکند.

قضيه منحني جُردن: هر منحني ساده? بسته C، صفحه را به سه زير مجموعه? جدا از هم درون، بيرون و روي منحني تقسيم مي‌کند.

درتوپولوژي، منحني را به صورت زير تعريف مي کنيم:

فرض کنيم I بازه‌اي‌ست از اعداد حقيقي (يعني يک زير مجموعه همبند ناتهي از). آنگاه، خم  يک نگاشت پيوسته  است که X يک فضاي توپولوژيکي است.

خم  را ساده مي‌گويند اگر که براي هر x،y در I داشته باشيم:

در صورتي که، I بازه‌اي بسته و کراندار باشد، امکان را هم مجاز در نظر مي گيريم (اين قرارداد امکان اين را مي‌دهد که راجع به خم ساده? بسته صحبت کنيم).

چنانچه، به ازاء برخي  (غير از دوسر I) داشته باشيم:

آنگاه به  يک نقطه? مضاعف (يا چندگانه)از خم گفته مي‌شود.

خم  را بسته يا يک حلقه مي‌گوييم اگر  و اگر . بنابراين يک خم بسته يک نگاشت پيوسته از دايره  است. يک خم ساده بسته همچنين يک خم ژوردان گفته مي‌شود. يک خم صفحه‌اي خم‌اي است که براي آن X يک فضاي اقليدسي است—اينها مثال‌هايي هستند که ابتدا بيان شدند. يک خم فضايي خم‌اي است که براي آن X سه بعدي يا فضاي اقليدسي است. يک خم کج خم فضايي است که روي هيچ صفحه‌اي قرار نگيرد. اين تعاريف همچنين در مورد خم‌هاي جبري نيز صادقند. اما در مورد خم جبر معمول است که خم را به داشتن نقاط تعريف شده روي اعداد حقيقي محدود نکنيم.

تفاوت بين يک منحني و تصويرآن مهم است. دو منحني متمايز ممکن است تصوير يکسان داشته باشند. به عنوان مثال يک پاره خط مي‌تواند در سرعت‌هاي متفاوت پيموده شود، يا يک دايره مي‌تواند به دفعات متفاوت پيموده شود. با اين وجود خيلي اوقات ما فقط به تصوير منحني علاقه‌منديم. مهم است که هنگام مطالعه به زمينه و قرارداد توجه شود. اغلب توپولوژيست‌ها از اصطلاح «مسير» به عنوان آنچه ما منحني مي‌ناميم و از «منحني» به عنوان به عنوان آنچه ما تصوير مي‌ناميم استفاده مي‌کنند. درهندسه ديفرانسيل معمولا از اصطلاح «خم» استفاده مي‌شود.

تصوير يک تابع: اگر f يک نگاشت، تابع يا تبديل از دامنه? D به هم دامنه‌يY باشد. آنگاه تصوير f که گاه به آن برد f نيز گفته مي‌شود مجموعه? مقاديري است که f با تغيير ورودي‌اش روي مقادير D به دست مي‌دهد. اصطلاح تصوير تابع در متون آکادميک نسبت به برد ارجحيت دارد. تصوير تابع مي‌تواند براي زيرمجموعه‌هايي از دامنه نيز تعريف شود. [f[a,b بيانگر تصوير بازه‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ي [a,b] تحت تابع f است.

تصوير يک تابع زير مجموعه‌اي از هم دامنه‌ي آن است.

در ابتدا سهمي ها را معرفي مي‌کنيم. در متون علمي آمده است که:

• منايخموس رياضيدان يوناني باستان سهمي را جهت حل مسئله تضعيف مکعب (ساختن مکعبي که حجم آن دو برابر حجم يک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خطکش و پرگار)، مورد مطالعه قرار داد.


• اسحاق نيوتن در کتاب «اصول رياضي فلسفه طبيعي» نشان داد که اگر نيروي کشش ميان اجسام آسماني متناسب با مع مجذور فاصله بين آن دو باشد، اجرامي که به دور يک جرم بزرگ مي‌گرداند، يا بايد حرکت دايره‌اي، بيضوي، سهموي يا هذلولوي داشته باشند. نيوتن از سهمي براي محاسبه مدار شهاب سنگ‌ها استفاده کرد. امروزه مي‌دانيم که اگر چه سهمي مدل خوبي براي حرکت شهاب سنگ‌ها مي‌باشد ولي اين مدل از دقت بالايي برخوردار نيست و به ندرت مدار شهاب سنگ‌ها با دقت بسيار بالايي سهموي مي‌باشند.


• گاليله نشان داد که وقتي جسمي را در هوا پرتاب مي‌کنيم، مسير حرکت آن سهموي مي‌باشد. اين موضوع زماني صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشي چشم پوشي شود.


• نيوتن و گرگوري نشان دادند که هنگامي که نور به صورت موازي به يک آينه سهموي تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع مي‌شود.


• پاسکال سهمي را تصوير يک دايره در نظر گرفت.


• اقتصادي‌ترين شکل پل کماني در اغلب شرايط عملي سهمي مي‌باشد.

منحني سهمي – Partial curve

زماني که شما به يک توپ فوتبال ضربه مي‌زنيد (يا تيري را از کمان رها کرده يا سنگي را به سمت آسمان پرتاب مي‌کنيد) پرتابه با طي کردن يک کمان به سمت بالا رفته و سپس سقوط مي‌کند. مسير پيموده‌شده توسط پرتابه بخشي از يک منحني سهمي مي‌باشد.